f(x)=[1/(2^x-1)+1/2]x^3

2^x-1不等于0，所以x不等于0

f(-x)=[1/(2^-x-1)+1/2]*(-x)^3
=-[2^x/(1-2^x)+1/2]*x^3
=[2^x/(2^x-1)-1/2]*x^3
=[(2*2^x-2^x+1)/2*(2^x-1)]*x^3
=[(2^x+1)/2(2^x-1)]*x^3
=[(2^x-1+2)/2(2^x-1)]*x^3
=[1/2+1/(2^x-1)]*x^3=f(x)
且定义域关于原点对称
所以是偶函数
关于y轴对称
则只要x>0时f(x)>0
则x<0是也有f(x)>0

x>0
2^x-1>0,所以显然f(x)>0
所以f(x)>0